Le principe du maximum 52 6. /Subtype /Form >> Définition du cas le plus usuel. On propose des exercices sur les intégrales de Riemann; en particulier sur les applications des sommes de Riemann. Ces exercices s’adressent aux étudiants de la Licence de Sciences et Techniques et des élèves de classes préparatoires aux grandes écoles (maths sup et spé). Page 2 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c … Etudier la nature des séries de terme général et calculer leur somme : exercice analyse numérique bibmath. Solution de l’exercice 2 : Nous devons montrer que pour tous x,y ∈ F et pour tout α ∈ R, stream endobj /Filter /FlateDecode de Y. /Type /XObject endobj x���P(�� �� endobj x���P(�� �� 26 0 obj /Filter /FlateDecode /ProcSet [ /PDF ] Bibmath integration. On considère un intervalle [c, d] (c < d) fermé Our website is made possible by displaying online advertisements to our visitors. Rappels tr`es succints surl’int´egrale de Riemann 2 2. Exercice 3 Calculer la somme des séries ... que la série de Riemann, elle est donc convergente si > 1 et divergente si 2]0;1]. endobj /Type /XObject x���P(�� �� 92 0 obj Whether you've loved the book or not, if you give your honest and detailed thoughts then people will find new books that are right for them. On a vu dans l'exercice précédant que la méthode d'approximation d'intégrales par sommes de Riemann en prenant le point le plus à gauche de l'intervalle converge au mieux en 1 n. Ce n'est pas très rapide, et d'autres méthodes permettent d'améliorer la vitesse de convergence. << a) Montrer que les séries de terme généraux un et vn sont de même nature. Problème 1 : sommes de Riemann Partie A : convergence des sommes de Riemann 1. EXERCICES SUR L’INTEGRALE DE RIEMANN 1. a) Si fest une fonction en escalier, montrez que |f ... sauf en un nombre fini de points est intégrable au sens de Riemann. >> Other readers will always be interested in your opinion of the books you've read. << /S /GoTo /D [93 0 R /Fit] >> Exercice 3 Calculer l’int´egrale de f : [a,b] → R comme limite de sommes de Riemann- endobj Si vous continuez à utiliser ce site, nous supposerons que vous en êtes satisfait. En comparant avec une intégrale de Riemann, démontrer que l'intégrale étudiée est convergente. et de la somme d’une suite géométrique. /Resources 17 0 R On pose vn = un 1+u n et wn = un 1+u2. << /S /GoTo /D (Outline0.2) >> << /S /GoTo /D (Outline0.4) >> Tribus. Ces sommes sont liées à des intégrales généralisées. >> Z eros des fonctions holomorphes 47 4. /ProcSet [ /PDF ] 55 0 obj 10. endobj 40 0 obj << /S /GoTo /D (Outline0.3.2.25) >> Donc lim n→+∞ S n = 2 3. stream Applications aux fonctions holomorphes 37 Chapitre 3. 56 0 obj endstream CHAPITRE24. >> Calculs de somme Exercice 26 - Avec des racines - L2/Math Spé - ? /BBox [0 0 16 16] endobj >> Soit un > 0. << /Filter /FlateDecode …, Exercices sur les Sommes de Riemann généralisées. /Subtype /Form /BBox [0 0 100 100] /Subtype /Form (Exemples) endobj /Resources 11 0 R /ProcSet [ /PDF ] /Resources 98 0 R /Matrix [1 0 0 1 0 0] /FormType 1 Ꟈ� //���U����. La formule générale pour les sommes de Riemann est que R b a f(x)dx est la limite (quand n!+¥) de S n = b a n n 1 å k=0 f(a+k b a n): Indication pourl’exercice3 N 1.On pourra penser que le cosinus et le sinus sont les parties réelles et imaginaires de la fonction t 7!eit. /FormType 1 /BBox [0 0 8 8] x���P(�� �� endstream 1. converge (série de Riemann d’exposant a > 1), la série de fonctions de terme général x 7→ 1 nx, n ≥ 1, est normalement convergente et donc uniformément convergente sur [a,+∞[. /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 8.00009] /Coords [0 0.0 0 8.00009] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 8.00009] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [1 1 1] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> ] /Bounds [ 4.00005] /Encode [0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> 63 0 obj Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Sur [ ]le maximum est en ( ) (au moins pour assez grand) ( ) ce qui est le terme général d’une série numérique de Riemann convergente avec , par conséquent elle converge normalement sur [ ]. 29 0 obj Cela explique l'absence du symbole valeur absolue dans le logarithme népérien de x 2-2.x+2.. Par comparaison aux séries de Riemann, on voit que P P kf nk 1converge et donc la série n2N f n converge normalement, uniformément et simplement sur [0;+1[. Page 48 Notation : Dans le cas où 0 lim n x S L ∆→ =, on note L sous la forme ( ). n est une somme de Riemann de x 7→ √ x sur [0,1]. Des exercices sur les sommes généralisées de Riemann sont proposés avec des solutions détaillées. << /S /GoTo /D (Outline0.2.3.16) >> /Filter /FlateDecode << 31 0 obj Propri et es des fonctions holomorphes 41 1. Corrigé de l’examen final Math 2 -ST 22- 2017 Correction questions supplémentaires examen final Math2 -ST22- 2017 Examen final Math1- coordination Vague 1 Jan2019 67 0 obj << /ProcSet [ /PDF ] Exercice 3 Calculer la somme des séries ... que la série de Riemann, elle est donc convergente si > 1 et divergente si 2]0;1]. << Quand n tend vers +¥, le pas 1 n tend vers 0 et on sait que u n tend vers Z 1 0 x2 sin(px)dx = 1 p x2 cos(px) 1 0 + 2 p Z 1 0 xcos(px)dx = 1 p + 2 p ( 1 p xsin(px) /Resources 29 0 R 22 0 obj 4 Exemples de limites de sous-ensembles 4 ... Interversions d’une somme de s´erie et d’une int´egrale 39 4. Définition de l’intégrale de Riemann 7 Commesurlesdiagrammes,lafonctionfn’estpassupposéecontinueici,maiscesdeux sommes finies existent simplement parce que toutes les quantités : inf x2Ik f et sup x2Ik f sont des nombres réels finis, puisque fest supposée bornée. On prouve donc que la série converge, et que sa somme fait : 1 − √12 . >> Exercice 6. /Type /XObject >> /FormType 1 59 0 obj L’int egrale de Riemann est l’objet de ce cours. << /S /GoTo /D (Outline0.1.1.4) >> /FormType 1 << /S /GoTo /D (Outline0.2.4.21) >> /Length 15 /BBox [0 0 100 100] Il s’agit d’une série de Riemann divergente ( ) Donc la série ne converge pas normalement sur [ [. Solution de l’exercice 2 : Nous devons montrer que pour tous x,y ∈ F et pour tout α ∈ R, Loi uniforme bibmath. endobj En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Sommation double Sommation/Exercices/Sommation double », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. En mathématiques, et plus précisément en analyse, les sommes de Riemann sont des sommes finies approchant des intégrales.En pratique, elles permettent de calculer numériquement des aires sous la courbe de fonctions ou des longueurs d'arcs, ou inversement, de donner une valeur à des suites de sommes.Elles peuvent également être utilisées pour définir la notion d'intégration. << La somme de Riemann S 6 de f est repr´esent´e par des hachures obliques. endstream 95 0 obj /Subtype /Form C’est dans le cadre de cette th eorie que se font tous les calculs d’int egrale rencontr es jusqu’a maintenant. Allez à : Exercice 5 Correction exercice 6. Ces sommes sont liées à des intégrales généralisées. /Length 15 endstream On considère $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs décroissant vers $0$, et on considère la série $\sum_{n\geq 0}(-1)^n u_n$ dont on rappelle qu'elle est convergente. 2. Exercice 3.1. Etudier la convergence de la série dont le terme général est défini par u 2p = 2 3 p et u 2p+1 =2 2 3 p par la régle de Cauchy et par la règle de l’Alembert. You can write a book review and share your experiences. >> >> /Type /XObject /Filter /FlateDecode 91 0 obj /Type /XObject (Exemples) /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0 1] /Coords [4.00005 4.00005 0.0 4.00005 4.00005 4.00005] /Function << /FunctionType 2 /Domain [0 1] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [1 1 1] /N 1 >> /Extend [true false] >> >> stream /Filter /FlateDecode << (Exemple de synth\350se) << Exercice 3.1. converge et calculer sa somme. x���P(�� �� /FormType 1 83 0 obj (Primitives des fonctions usuelles) 97 0 obj >> 0, lorsque n ! << 79 0 obj Pour l'étude des certaines intégrales, du type $\int_1^{+\infty}\frac{\sin }{t}dt$, qui ne sont pas absolument convergentes, une intégration par parties permet de se ramener à une intégrale absolument convergente. >> décroît). supérieure) croît (resp. 3. endobj /Matrix [1 0 0 1 0 0] de fonctions en escalier (1854). Le but de l'exercice est de déterminer un équivalent du reste de certaines séries alternées. /BBox [0 0 100 100] Etudier la convergence de la série dont le terme général est défini par u 2p = 2 3 p et u 2p+1 =2 2 3 p par la régle de Cauchy et par la règle de l’Alembert. >> /ProcSet [ /PDF ] Dans la th eorie de Riemann, certains calculs posent des probl emes. /Length 15 endobj endobj En déduire qu’on a … /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 21.25026 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> Enjoy the videos and music you love, upload original content, and share it all with friends, family, and the world on YouTube. endobj Les simplifications se font sur l’écriture de 3 termes consécutifs. Enregistrer mon nom, mon e-mail et mon site dans le navigateur pour mon prochain commentaire. Soit un > 0. << n n La série de terme général (un ) est donc divergente. /Subtype /Form /Length 15 /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0 0.0 0 100.00128] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> endobj On note Sla fonction somme de la série: S(x) = X+1 n=1 f n(x). () /Length 15 76 0 obj Exercice 3 ***IT Limites de 1) 1 n3 ... n est donc une somme de RIEMANN à pas constant associée à la fonction continue f sur [0;1]. Post a Review . 14 0 obj mesure de 53. il existe 52 . Allez à : Exercice 24 Corrections Correction exercice 1. Calculs de somme Exercice 26 - Avec des racines - L2/Math Spé - ? /Filter /FlateDecode 88 0 obj décroît). /ProcSet [ /PDF ] Calcul exact de l'aire sous une courbe à l'aide d'une somme de Riemann et du calcul d'une limite. stream Soit fla fonction définie sur [0,1] par f(x) = ˆ (−1)E(1/x) si 0 > 1 – Somme de Darboux inférieure (hachurée) et supérieure (hachuré plus blanc) de f(x) pour une subdivision équidistante d’ordre 4 de [a,b]. /Type /XObject Page 48 Notation : Dans le cas où 0 lim n x S L ∆→ =, on note L sous la forme ( ). /Matrix [1 0 0 1 0 0] 21. 98 0 obj endobj /Subtype /Form Ce exercices sont adressés, également, aux élèves des classes préparatoires aux écoles d’ingénieurs (math-sup) qui y trouveront l’opportunité de faire des exercices et des problèmes parfois difficiles. Problème 1 : sommes de Riemann Partie A : convergence des sommes de Riemann 1. par intégration par parties. endobj endobj endstream 9. nnn! Il s’agit d’une série de Riemann divergente avec 2. /ProcSet [ /PDF ] FIG. endobj /Length 15 endobj /BBox [0 0 5669.291 8] Des applications au calcul de suites de nombres réels sont également données. /Length 726 Exercice 1.1.5 Montrer qu’en ajoutant un point x ∗ (entre x i−1 et x i) à X, la somme de Darboux inférieure (resp. LEGRENIER 4 Legrenier Exercice24.16Déterminer pour x=0, lim n→+∞ n k=1 n n2+k2x2 rép : on a n k=1 n n2+k2x2 1 n n k=1 n 1+x2 k n 2 est une somme de Riemann pour f(t)= 1 1+x2t2La somme converge vers 1 0 f(t)dt= La formule générale pour les sommes de Riemann est que R b a f(x)dx est la limite (quand n!+¥) de S n = b a n n 1 å k=0 f(a+k b a n): Indication pourl’exercice3 N 1.On pourra penser que le cosinus et le sinus sont les parties réelles et imaginaires de la fonction t 7!eit. endobj /Resources 35 0 R endobj On y voit la subdivision (x k) de [0,a], ainsi que la subdivision (y k) de [0,b]. EXERCICES corrigés de PROBABILITES Calculer la probabilité d'un événement Exercice n°1: Un sachet contient 2 bonbons à la menthe, 3 à l'orange et 5 au citron ; er pour x=0, lim n→+∞ n k=1 n n2+k2x2 rép : on a n k=1 n n2+k2x2 1 n n k=1 n 1+x2 k n 2 est une somme de Riemann pour f(t)= 1 1+x2t2La somme converge vers 1 0 f(t)dt 72 0 obj Exercice 15 - Une intégrale comme somme d'une série [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé . /BBox [0 0 100 100] /Subtype /Form endobj La fonction fest continue sur le segment [a,b] ... [0,1] en tant que fraction rationnelle définie sur [0,1], la somme de Riemann Rn(f)converge et a pour limite 1 1−0 Z1 0 1 1+x dx=[ln(1+x)]1 0 =ln2. On propose des exercices sur les intégrales de Riemann; en particulier sur les applications des sommes de Riemann. Pour l'étude des certaines intégrales, du type $\int_1^{+\infty}\frac{\sin }{t}dt$, qui ne sont pas absolument convergentes, une intégration par parties permet de se ramener à une intégrale absolument convergente. endstream endobj (Int\351grabilit\351) /Matrix [1 0 0 1 0 0] On en d´eduit lim n→+∞ S n = Z 1 0 √ xdx = h2 3 x √ x i 1 0 = 2 3 Corrig´e de l’exercice 5 [Retour a l’´enonc´e] En déduire qu’on a … 11 0 obj /Filter /FlateDecode 68 0 obj 84 0 obj et de la somme d’une suite géométrique. 22. 99 0 obj >> 34 0 obj /FormType 1 Ces sommes sont liées à des intégrales généralisées. /Subtype /Form x���P(�� �� supérieure) croît (resp. 23 0 obj 44 0 obj /FormType 1 stream endobj /FormType 1 endobj endobj xest le sym´etrique de x, c’est-`a-dire, −x. << Et on en déduit finalement que : endobj Remarque. << @s�&�. Ce type d’int egrales se calcule sur des domaines born es Z b a f(x)dx. b a ∫ f x dx qui se lit « somme entre a et b de tous les f x dx( ). Cons equences \imm ediates" de la formule de Cauchy 41 2. x���P(�� �� 64 0 obj << /S /GoTo /D (Outline0.2.1.9) >> LEGRENIER 4 Legrenier Exercice24.16Déterminer pour x=0, lim n→+∞ n k=1 n n2+k2x2 rép : on a n k=1 n n2+k2x2 1 n n k=1 n 1+x2 k n 2 est une somme de Riemann pour f(t)= 1 1+x2t2La somme converge vers 1 0 f(t)dt= /Filter /FlateDecode En …, Exercices corrigés sur les bornes supérieure et inférieure sont proposés. stream On a affaire à une série télescopique un peu compliquée. 12 0 obj de Riemann en prenant le point le plus à gauche de l'intervalle converge au mieux en 1 n. Ce n'est pas très rapide, et d'autres méthodes permettent d'améliorer la vitesse de convergence. /ProcSet [ /PDF ] stream Exercice 3 ***IT Limites de 1) 1 n3 ... n est donc une somme de RIEMANN à pas constant associée à la fonction continue f sur [0;1]. Allez à : Exercice 9 8. est de signe constant stream 16 0 obj /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 22.50027 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> endobj /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0 0.0 0 100.00128] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> x���P(�� �� /Matrix [1 0 0 1 0 0] 21. >> 1. /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0.0 0 100.00128 0] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> Holomorphie et analyticit e 44 3. Calculer la surface du domaine D décrit dans l’exemple 3.12 3.3.2 Intégrales sur un domaine compris entre les graphes deux fonc-tions et deux droites horizontales Les résultats de ce paragraphe se déduisent de ceux du paragraphe précédent en échangeant les rôles de x et y. >> Exercice 1.1.5 Montrer qu’en ajoutant un point x ∗ (entre x i−1 et x i) à X, la somme de Darboux inférieure (resp. !1=n 4 e. Exercice 32.— En utilisant les sommes de Riemann pour une fon ion bien choisie, montrer que Les simplifications se font sur l’écriture de 3 termes consécutifs. /ProcSet [ /PDF ] endobj endobj sauf en un nombre fini de points est intégrable au sens de Riemann. << /S /GoTo /D (Outline0.2.2.14) >> /Subtype /Form (Formule de la moyenne) 87 0 obj Problème: A- Soitent $f:]a,b[\to \mathbb{R}$ une fonction monotone sur $]a,b[$ telle que l’intégrale généralisée \begin{align*}J:=\int^b_a f(t)dt\end{align*}soit convergente. 39 0 obj x���P(�� �� /FormType 1 b) pour n 1, expliciter Rsupn, la n-ième somme de Riemann supérieure associée à la fon ion x!7 logxsur le segment [1;2].Que vaut lim n Rsup n? On la pr esentera comme Darboux l’a fait (1875). Le but de l'exercice est de déterminer un équivalent du reste de certaines séries alternées. Quand ce n’est pas À l'aide de la somme de Riemann associée à une subdivision équirépartie, on trouve pour une fonction intégrable lim n!+1 b a n Xn k=1 f a + k b a n = Z b a f(x)d x: Dans le cas d'une fonction constante, cela donne 8 2R; Z b a d x = lim n!+1 b a n Xn k=1 = (b a) ( aire d'un rectangle! ) (Th\351or\350me fondamental de l'analyse) /Type /XObject >> Le sch´ema ci-dessous illustre l’id´ee de la d´emonstration de la premi`ere question. /Type /XObject 1, la série est convergente. 1 – Somme de Darboux inférieure (hachurée) et supérieure (hachuré plus blanc) de f(x) pour une subdivision équidistante d’ordre 4 de [a,b]. << /S /GoTo /D (Outline0.1.2.6) >> endobj x���P(�� �� (Sommes de Riemann d'une fonction) /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Type /XObject /BBox [0 0 100 100] << » c’est à dire somme de toutes les aires des rectangles de largeur infinitésimale que l’on peut trouver en partageant l’intervalle [ ; ]a b … Dans cette notation, on On appelle somme de Riemann inférieure ... 2 Propriétés de l’intégrale de Riemann Exercice 1 En utilisant la définition d’une fonction intégrable au sens de Riemann, montrer les propriétés suivantes : 1.Si f et g sont Riemann-intégrables sur [a;b], alors f +g est Riemann-intégrable sur [a;b]. /Resources 96 0 R << c) En déduire que lim n (2n)! %PDF-1.5 >> endstream /FormType 1 In mathematics, a Fourier series (/ ˈ f ʊr i eɪ,-i ər /) is a periodic function composed of harmonically related sinusoids, combined by a weighted summation.With appropriate weights, one cycle (or period) of the summation can be made to approximate an arbitrary function in that interval (or the entire function if it too is periodic).As such, the summation is a synthesis of another function. 60 0 obj 10 0 obj endobj /Resources 15 0 R Exercice 6. 4 Exercices de Math´ematiques Sommes de Riemann (I) Corrig´es Corrig´e de l’exercice 4 [Retour a l’´enonc´e] On constate que S n = 1 n Xn k=1 r k n est une somme de Riemann de x 7→ √ x sur [0,1]. (Int\351grale de Riemann) << /Type /XObject endstream /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0.0 0 100.00128 0] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> endobj (x-1) nous obtenons une primitive de R(x):. endobj << << /S /GoTo /D (Outline0.1) >> lim Calculer la surface du domaine D décrit dans l’exemple 3.12 3.3.2 Intégrales sur un domaine compris entre les graphes deux fonc-tions et deux droites horizontales Les résultats de ce paragraphe se déduisent de ceux du paragraphe précédent en échangeant les rôles de x et y. (Lien int\351grale/primitive) endobj /Length 15 43 0 obj /Subtype /Form /BBox [0 0 362.835 272.126] << a) Montrer que les séries de terme généraux un et vn sont de même nature. /BBox [0 0 100 100] x���P(�� �� stream b a ∫ f x dx qui se lit « somme entre a et b de tous les f x dx( ). 80 0 obj /Length 15 35 0 obj On va appliquer les règles de Riemann avec ( ) ( ) Donc la série (numérique) de terme général ( ) ( ) converge, autrement dit la série de fonction de terme général ... continues la fonction somme est continue. endstream endstream >> (Primitives) stream << /S /GoTo /D (Outline0.3.1.24) >> En particulier, pour les probl emes d’interversion de somme et d’int egration (soulev es par Fourier) : X n 1 Z f n(x)dx= Z X n 1 f n(x)dx; ou de limite et d’int egrale : lim n!+1 Z f n(x)dx= Z lim n!+1 f n(x)dx Ces exercices s’adressent aux étudiants de la Licence de Sciences et Techniques et des élèves de classes préparatoires aux grandes écoles (maths sup et spé). D’après les règles de Riemann avec entraine que la série de terme général diverge. Des exercices sur les sommes généralisées de Riemann sont proposés avec des solutions détaillées. endobj >> 102 0 obj À l'aide de la somme de Riemann associée à une subdivision équirépartie, on trouve pour une fonction intégrable lim n!+1 b a n Xn k=1 f a + k b a n = Z b a f(x)d x: Dans le cas d'une fonction constante, cela donne 8 2R; Z b a d x = lim n!+1 b a n Xn k=1 = (b a) ( aire d'un rectangle! ) >> On appelle somme de Riemann inférieure ... 2 Propriétés de l’intégrale de Riemann Exercice 1 En utilisant la définition d’une fonction intégrable au sens de Riemann, montrer les propriétés suivantes : 1.Si f et g sont Riemann-intégrables sur [a;b], alors f +g est Riemann-intégrable sur [a;b]. /Resources 13 0 R >> endobj Solution de l'exercice 6 /BBox [0 0 100 100] endobj << /S /GoTo /D (Outline0.3) >> 71 0 obj << 17 0 obj Exercices de Math´ematiques Sommes de Riemann (II) Corrig´es 3. >> endstream ... $ est intégrable au sens de Riemann si la différence de la somme Darboux supérieure et inférieure tend vers $ 0 $ lorsque le pas de la subdivision qui définit ces sommes tend vers $ 0 $. Soit $\alpha\in\mathbb R$. La formule de Green-Riemann 31 3. endobj SOMMESDERIEMANN 4. 100 0 obj » c’est à dire somme de toutes les aires des rectangles de largeur infinitésimale que l’on peut trouver en partageant l’intervalle [ ; ]a b … Dans cette notation, on Dans le cas de la fonction exponentielle, cela donne /Resources 26 0 R x��VIO�P��W�1H}��/�nDT��F����HqP��w�y}�SQ�T�x��|���l܀�y!FvWH���*N�*���}�8�}�� 1, la série est convergente. (D\351finitions) endobj On prouve donc que la série converge, et que sa somme fait : 1 − √12 . Allez à : Exercice 9 7. est de signe constant ( ) ( ) D’après les règles de Riemann avec entraine que la série de terme général converge. Please consider supporting us by disabling your ad blocker. /ProcSet [ /PDF ] On a affaire à une série télescopique un peu compliquée. /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Subtype /Form Quand n tend vers +¥, le pas 1 n tend vers 0 et on sait que u n tend vers Z 1 0 x2 sin(px)dx = 1 p x2 cos(px) 1 0 + 2 p Z 1 0 xcos(px)dx = 1 p + 2 p ( 1 p xsin(px) )^{\frac{1}{n}}}{n},\quad v_n=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}.\end{align*}, En utilisant (bien sûr après justification) la relation\begin{align*}\sin \frac{\pi}{n}\,\sin \frac{2\pi}{n}\cdots\sin \frac{n-1}{n}\pi= \frac{n}{2^{n-1}},\end{align*}déterminer la valeur de l’intégrale\begin{align*}\int^{\pi}_0 \log(\sin x)\,dx.\end{align*}. D´erivation sous le signe somme … En pratique, on peut ajouter une colonne et une ligne au tableau pour y ecrire les lois de Xet Y. /Filter /FlateDecode << endobj En n, si a = 1, la série est alternée, et comme 1=n ! Montrer que le produit de deux fonctions Riemann-intégrables est Riemann-intégrable. Solution de l'exercice 6 SOMMESDERIEMANN 4. 2. Montrer que le produit de deux fonctions Riemann-intégrables est Riemann-intégrable. >> %���� Exercices et Corrig´es en compl´ement du Cours de Gilles Pag`es Jacques F´ejoz ... Int´egrale de Riemann. /ProcSet [ /PDF ] /ProcSet [ /PDF ] 75 0 obj 51 0 obj 2. Bibmath integration. << 25 0 obj endobj endobj << FIG. 2. endobj Exercice 2 Montrer que les fonctions d´efinies sur R, f(x) = x , g(x) = x2 et h(x) = ex, sont int´egrables sur tout intervalle ferm´e born´e de R. En utilisant les sommes de Riemann, calculer les int´egrales R 1 0 f(x)dx, R 2 1 g(x)dx et R x 0 h(t)dt. /Resources 32 0 R /Subtype /Form En remarquant que la dérivée de x 2-2.x+2 est 2. 9. Des exercices sur les sommes généralisées de Riemann sont proposés avec des solutions détaillées. /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 8.00009] /Coords [8.00009 8.00009 0.0 8.00009 8.00009 8.00009] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 8.00009] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 4.00005] /Encode [0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> endobj stream Des applications au calcul de suites de nombres réels sont également données. Montrer que suite (dite somme de Riemann généralisée)\begin{align*}S_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n-1} f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)\end{align*}tend vers $J$ quand $n\to +\infty$. 47 0 obj Méthode du point médian Soit f une fonction de classe C2 sur un intervalle [a;b] de … On considère un intervalle [c, d] (c < d) fermé Indication pour l’exercice 5 [Retour a l’´enonc´e] Passer par une somme de Riemann de f sur [0,1], de pas 1 n. Utiliser la concavit´e de x 7→lnx, puis passer a la limite quand n → +∞. endobj 96 0 obj endobj /Type /XObject /Filter /FlateDecode /Matrix [1 0 0 1 0 0] << On pose vn = un 1+u n et wn = un 1+u2. /FormType 1 22. ... la densité, l'espérance et la variance de Y = X 2 .Exercice 2 - Uniforme et exponentielle - L2/L3/ECS - ⋆Soit U une variable aléatoire de loi. xest le sym´etrique de x, c’est-`a-dire, −x. /Length 15 << /FormType 1 par intégration par parties. /Matrix [1 0 0 1 0 0] 13 0 obj /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0 1] /Coords [0 0.0 0 272.12965] /Function << /FunctionType 2 /Domain [0 1] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> /Extend [false false] >> >> /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 20.00024 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> puis par la relation de Chasles, fiche méthode série numérique. Soit une fonction partout définie sur le segment.On considère et une subdivision régulière , avec .. La somme de Riemann (la plus communément rencontrée) associée à est:. Nous proposons des exercices corrigés sur les espaces vectoriels. Mesures 2 1. << /S /GoTo /D (Outline0.3.3.26) >> /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 21.25026 23.12529 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> x���P(�� �� endobj >> stream Le th eor eme de Liouville 50 5. Exercice 9 - Somme partielle des séries de Riemann [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé . /Resources 100 0 R Exercices corrigés sur les espaces vectoriels, Les propriétés des bornes supérieure et inférieure, Exercices et cours de maths en pdf pour supérieur, Relations d’équivalences et ensembles quotients, Cours suites de Cauchy et exemples d’applications, Une sélection d’exercices corrigés d’analyse I pour …, Exercices sur les espaces vectoriels de dimension …, Calculer les limites des suites\begin{align*}u_n=\frac{(n! 28 0 obj … 48 0 obj Définition de l’intégrale de Riemann 7 Commesurlesdiagrammes,lafonctionfn’estpassupposéecontinueici,maiscesdeux sommes finies existent simplement parce que toutes les quantités : inf x2Ik f et sup x2Ik f sont des nombres réels finis, puisque fest supposée bornée. /Length 15 On a prouvé que , donc , par domination par une série de Riemann convergente, converge. On suppose $\alpha ... Exercice 15 - Une intégrale comme somme d'une série [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé .