Une bonne justification peut se faire à l'aide du critère de Cauchy. Utiliser l'encadrement $0\leq \frac{x^{n+1}}{1+x}\leq x^{n+1}$ pour $0\leq x\leq 1$. Au contraire, supposons maintenant que $l<1$ et, dans un premier temps, $l\neq 0$. Par exemple, la série Sa dérivée est $x\mapsto 1/(1+x)^2\geq 0$, donc la fonction est croissante. On a bien $\sum_n |u_n|$ et $\sum_n n|u_n|$ qui sont deux séries numériques convergentes. $$0\leq I_n\leq \int_0^1 x^{n+1}dx=\frac 1{n+2}.$$ a Montrer que la série de terme général (−1)n 3n+1 converge et que X∞ n=0 (−1)n 3n+1 = Z1 0 dx 1+x3. On a utilisé si et . On pose pour $n\geq0$, $u_n=S_{2n}$ et $v_n=S_{2n+1}$. Comparer les énoncés : 1. f est intégrable 2. Posons $p=\lfloor q/2\rfloor $, de sorte que $p\geq N$ et $2p-p\geq \frac q2-1$. arithmético-géométrique et le résultat de la question précédente : On suppose que $\sum_n u_n$ diverge. que la suite $(T_n)$ est bornée. Prouver que la fonction $x\mapsto \frac{x}{1+x}$ est croissante sur $[0,+\infty[$. Application : Soit $a_n=\frac{(2n)!}{(n! \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} $\sum_n \frac{\sigma(n)}{n^2}$ est divergente. Exo7 propose aux étudiants des cours de maths, des exercices avec corrections et des vidéos de mathématique avec niveau L1/Math Sup, L2/Math Spé, L3/Licence. L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques 1 Enoncés Exercice 1 Soient ∑ an et bn deux séries à termes strictement positifs véri ant : 9n 2 N: 8n n ; an+1 an bn+1 bn Montrer que (1) si ∑ bn converge, alors an converge; (2) si ∑ an diverge, alors bn diverge. Construire $b_k$ pour $k\in[p_n,p_{n+1}[$. avec $C=\frac{u_{n_0}}{v_{n_0}}$. d'où il vient \frac{a_{n+1}}{a_n}&=\frac{(2n+2)!}{(2n)!}\times\frac{(n!)^2}{((n+1)! Puisque $u_0=1$, il suffit de démontrer )^2}\left(\frac 14\right)^n$. Exercice 6 Trouver les coefficients de … vers un réel. $$f'(t)=\frac{\frac{t}{2\sqrt t}\cos(\sqrt t)-\sin(\sqrt t)}{t^2}=_{+\infty}O\left(\frac1{t^{3/2}}\right).$$ 6 CHAPITRE 1. $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq l+\varepsilon.$$ la série $\sum_n u_n$ converge. Dans ce cas, la suite $(u_n^\alpha)$ ne converge Fixons $p\in\mathbb N$ et démontrons que $S_p\leq 2C$. Distinguer les cas $u_n\to 0$ et $(u_n)$ ne tend pas vers 0. On procède par récurrence sur $n$. on a $\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\leq 0$. En particulier, pour tout $x\in [0,1]$, puisque $x^{n+1}\geq 0$, on a Mais, en effectuant le changement de variables $e^t=u$, de sorte de $e^t dt=u\implies dt=du/u$, on trouve \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} Ainsi, la série numérique P n2N ( 1) n ln 1+ x n(1+x) converge d'après le théorème des séries alternées. Prouvons-le (en s'inspirant de la preuve Academia.edu no longer supports Internet Explorer. \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} $$\sum_{n\geq 1}nr^n=\sum_{n\geq 1}\frac{r^n}{1-r}=\frac{r}{(1-r)^2}.$$. (et qui est donc forcément strictement positif car chaque terme est positif) tel que $p_n\to l$. Exercices corrigé dans Analyse NumériqueExercice 1 : une approximation de ( ). On a alors, pour tout $n\geq n_0$ : \end{eqnarray*}. Après avoir décomposé la fraction rationnelle 1 x(x+ 1), décider, en utilisant la dé nition de la convergence d'une série numérique, si la série X n>1 1 n(n+ 1) converge, et si oui, déterminer sa somme. Pour calculer une expression du type 9+6*x+5+8*y pour x et y donnés.Il faut remplacer x et y par les valeurs données puis effectuer les calculs Exercices corriges - Développements limités, équivalents et calculs de limites. $(a_1\dots a_n)^{1/n}=\frac{(a_12a_2\dots na_n)^{1/n}}{(n!)^{1/n}}$. D'après l'hypothèse, chaque terme $u_{2k+1}-2u_{2k+2}+u_{2k+3}$ est positif. $\left(\int_1^n f(t)dt\right)$ est convergente. $$\int_0^1 \frac{1}{1+x}dx=\ln 2$$ de $\int_1^{+\infty}f(e^{-t})dt$ et celle de $\sum_n v_n$ à la convergence de $\int_1^{+\infty}\frac1tf\left(\frac 1t\right)dt.$ Puisque $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites adjacentes, elles convergent Supposons d'abord $a>1$, et prenons $b\in ]1,a[$. Suite numérique réelle . Prouver que $\sum_n u_n$ diverge. On suppose $l<1$ et on fixe $\varepsilon>0$ tel que $l+\varepsilon<1$. Écrivons encore cette dernière égalité en regroupant les termes différemment : On écrit Exercice 2 Soient et deux réels. Posons $f(t)=\frac{\sin(\sqrt t)}t$. $$u_n=\int_n^{n+1}f(t)dt-f(n).$$ Comme la série de terme général 1 n2, n>1, converge (série de RIEMANN d’exposant a >1), la série de terme général u n converge. On a donc par comparaison divergence de la série $\sum_n u_n$. Comparer à une intégrale $\frac{u_n}{S_n^\alpha}$ en écrivant $u_n=S_n-S_{n-1}$. &=&\ln\left(1+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\\ Prouver qu'il existe une suite $(b_n)$ positive et qui converge vers 0 Soit $(a_n)$ une suite à termes positifs tels que $\sum_{n}a_n$ converge. &\leq&\sum_{k=n}^{+\infty}n|u_k|\\ Alors on a On considère $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs décroissant vers $0$, et on considère la série $\sum_{n\geq 0}(-1)^n u_n$ dont on rappelle qu'elle est convergente. $$v_n=\sum_{k=n}^{+\infty}r^k=\frac{r^n}{1-r}.$$ Dans cette question, on va prouver que $\ell=\ln 2$. $$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{\sigma(k)}{k^2}\geq \frac18.$$ Le but de l'exercice est de déterminer un équivalent du reste de certaines séries alternées. Par majoration d'une série à termes positifs par le terme général d'une série convergente, la série de terme général $\sqrt{u_nv_n}$ est convergente. Faux! $$a_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-a_{n+1}\leq 0.$$ On a toujours $u_{2n+1}>u_{2n}$, et pourtant la série converge. On écrit en effet Remarquons que la preuve n'est pas complètement terminée. on a $\sum_{k=0}^K 2^k u_{2^k}\leq M$. façon suivante : $$u_n\leq C v_n$$ F. On dit que f est surjective si tout el ement de En combinant avec le résultat de la première question, on obtient le résultat voulu. Par continuité Mais alors, écrivons $$|R_n|=-\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^ku_k\textrm{ et }|R_{n+1}|=\sum_{k=n+2}^{+\infty}(-1)^k u_k.$$ Exercices corrigés indices pdf. Soit $n$ arbitrairement grand. 2. On suppose que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac1n+O\left(\frac1{n^2}\right).$ On a d'une part Fin du théorème C'est le cas par exemple pour la série entière ∑ n ≥ 1 z n n 2 {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n^{2}}}} . \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} &=1-\frac{1}{2n+2}\\ question, on a $v_n\geq \veps/(1+\veps)>0$, et donc la suite $(v_n)$ ne converge pas vers 0. On pose $v_n=\ln(nu_n)$ et $w_n=v_{n+1}-v_n$. $$\int_1^n \frac{\sin{\sqrt t}}tdt=2\int_1^{\sqrt n}\frac{\sin u}{u}du.$$ Puisque $(l-\varepsilon)>1$, la série $\sum_n (l-\varepsilon)^n$ est divergente. On va minorer Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs telle que $\sum_n u_n$ diverge. &=&\sum_{j=1}^N a_j-\sum_{j=1}^N \frac{j}{N+1}a_j. &\leq&\frac{N_0}{N+1} S+\sum_{N_0+1}^N a_j\leq 2\veps $R_n=\sum_{k\geq n}f(k)$. On suppose pour toute la suite de l'exercice que $a_n=\frac{1}{n+1}$. Par le changement de variables $u=\sqrt t$, on a On suppose $l>1$. $$\left(\frac{\ln n}{\ln n+\ln(1+1/n)}\right)^b=1+O\left(\frac1{n\ln n}\right).$$ $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=1-\frac{\beta}n+o\left(\frac 1n\right).$$. Soit $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites de réels strictement positifs. ce qui est le résultat annoncé. &=&\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\times e^{-1}\\ $$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{\sigma(k)}{k^2}.$$ qui tend vers $0$. et d'autre part On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^k u_k$ son reste. D'après la formule donnant la somme d'une suite géométrique (de raison $-x$ ici, avec $-x\neq 1$) on a On suppose que les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n w_n$ sont convergentes. Donc P f n converge simplement en 0 vers 0. Faire un développement du logarithme avec deux termes. D'après la question précédente, on a $0\leq u_n\leq (l+\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}$. Academia.edu uses cookies to personalize content, tailor ads and improve the user experience. En effet, on a, pour tout $n\geq p$, )^{1/n}}$, et d'après l'inégalité $$\sum_{k=n+1}^{2n}\sigma(k)\geq 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2\geq\frac{n^2}2.$$ En déduire que $R_n\sim_{+\infty}\frac{(-1)^{n+1} u_n}2.$. que $f(y)\leq f(x)e^{-M(y-x)}$. Prendre $u_{2n}=1/n^2$ et $u_{2n+1}=2/n^2$. De même, puisque la série $\sum_n w_n$ converge, il existe un entier $N_2$ tel que, pour tous $q\geq p \geq N_2$, on \begin{align*} Calculer $v_{n+1}/v_n$ puis en déduire que $v_n\geq C u_n$ pour une constante $C>0$ bien choisie. Soit $p\geq n$ tel que $S_p\leq 2S_n$ et $S_{p+1}>2S_n$. Puisque $(a_n)$ est constituée de réels positifs, la divergence de la série assure que, pour tout entier $p\geq 0$, On va comparer à une intégrale chaque terme $\frac{u_n}{S_n^\alpha}$. Dans l'autre sens, en tout cas si $u_n\to 0$. Démontrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a Si $k>N$, il apparait $N$ fois. Perturber $(-1)^n/n$ par une série de Bertrand divergente. &=1-\frac{1}{2n}+o\left(\frac 1n\right). On a alors : u:n\longmapsto2n. &=&O\left(\frac1{n^2}\right). On a On suppose que les deux séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ convergent. $$u_n\geq (l-\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}.$$ w_n&=&\ln\left(\frac{(n+1)u_{n+1}}{nu_n}\right)=\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac1n+O\left(\frac1{n^2}\right)\right)\right)\\ La question précédente prouve que la série de terme général $w_n$ converge. Ceci entraîne que $(S_n)$ converge aussi vers $\ell$. )^2}\times\frac{4^n}{4^{n+1}}\\ Or, On note $\ell$ sa limite. Enfin, on a Démontrer que la convergence Puisque l'on travaille avec des séries à termes positifs, ceci entraine la convergence de $\sum_{n\geq 1}u_n^\alpha$. que si $N$ est assez grand, alors En regroupant toutes ces informations et en utilisant l'inégalité triangulaire, on conclut &\leq&(l+\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}. assez grand, Démontrer que la série numérique $\sum f(n)$ converge si et seulement si la suite $\left(\int_1^n f(t)dt\right)$ converge. est convergent. Mais alors, d'après la première On obtient Pour $n\geq N$, posons $P_n:"b_Na_n\leq a_N b_n"$. Or la série $\sum_n \frac 1{a_n}$ est divergente et à termes positifs. Montrer que la série $\sum_n f(n)$ converge et donner un équivalent, lorsque $n\to+\infty$, de $$\ln 2=S_n+(-1)^{n+1}I_n.$$ Pour $A\leq x\leq y$, on a en intégrant puis en passant à l'exponentielle, $$\sum_{k=n}^p b_k=\sum_{k=n}^p\frac{a_{k+1}}{S_k}\geq \sum_{k=n}^p \frac{a_{k+1}}{2S_n}=\frac{S_{p+1}-S_n}{2S_n}\geq Soient $(u_n)$ et $(a_n)$ deux suites de réels strictement positifs. \veps$$ Un tel $p$ existe car la série Il en est de même de $\sum_n u_n$. D'après ce qui a été obtenu à la question précédente, Il existe un entier $N_0$ tel que, pour tout $q\geq p\geq N_0$, on ait Les fonctions $g:x\mapsto f(e^{-x})$ et $h:x\mapsto \frac1xf\left(\frac 1x\right)$ sont décroissantes et positives. $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac an+o\left(\frac1n\right).$$. Chapitre 1 : Séries numériques Exercice 1.1. Puisque, au voisinage de $+\infty$, $u_n\to 0$ (car la série $\sum_n u_n^2$ converge), on a Se convaincre de sa nature sur des exemples. Alors $(b_n)$ est bien une suite $$u_{n+1}-u_n=S_{2n+2}-S_{2n}=a_{2n+2}-a_{2n+1}\leq 0$$ On a $(\sqrt{u_n}-\sqrt{v_n})^2\geq 0$ ce qui prouve que $0\leq \sqrt{u_nv_n}\leq \frac12\left(u_n+v_n\right)$. Si $(-1)^n n^2 u_n\to 1$, la série $\sum u_n$ converge. Il existe alors un entier $n_0$ tel que, Puisque la série de terme général $v_n$ diverge (cette fois, $b<1$), la série de terme général $u_n$ diverge. Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites réelles telles que $u_n\leq v_n\leq w_n$ pour chaque $n\geq 0$. Par le critère d'équivalence, on en déduit que les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ ont la même nature. u_n&=&\frac{u_n}{u_{n-1}}\times\frac{u_{n-1}}{u_{n-2}}\times\dots\times\frac{u_{n_0+1}}{u_{n_0}}\times u_{n_0}\\ On en déduit Soit $N\geq p$, on somme les inégalités précédentes pour $n$ allant de $p$ à $N-1$. Il existe donc un entier $N\geq 0$ tel que, pour $n\geq N$, on a $0\leq u_n\leq 1$. Avec les notations de l'exercice, la convergence de $\sum_n u_n$ est donc équivalente à la convergence $$\frac{b_{n+1}}{b_n}\leq \frac{a_{n+1}}{a_n}.$$ Il s'agit parfois d'un sujet de concours intégral , mais aussi parfois de sujet adapté à l'état d'avancement de mon cours. \end{eqnarray*} Soit $f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[$ une fonction de classe $C^1$ telle que $f'/f$ tend vers $-\infty$ )^{1/n}}\leq e\frac{a_1+\dots+na_n}{n(n+1)}.$$ alors que cette quantité devrait tendre vers 0 si la série était convergente. $$u_n=\frac{1\times 3\times 5\times\dots\times (2n-1)}{2\times 4\times\dots\times 2n}\textrm{ et }u_n=\frac 1n\times \frac{1\times 3\times 5\times\dots\times (2n-1)}{2\times 4\times\dots\times 2n}.$$. c'est-à-dire $u_n\sim\frac\lambda n$. a Exercice 1.1.2 Soit f: E ! \end{eqnarray*} On considère la série numérique de terme général pour et : ( ()) 1. Pour $u_n=\frac 1{n^2}$, $u_{n+1}/u_n$ tend vers 1 et $\sum_n u_n$ converge. C'est classique. $$\sum_{k=p_N}^{2p_N}u_k=S_{2p_N}-S_{p_N-1}\to 0.$$ On en déduit que $a_nu_n\geq a_pu_p$, et donc que $$. Démontrer que la série $$T_n\leq C.$$ comparaison série-intégrale. Il vient =ex, ou aussi, pour tout nombre complexe z de module strictement inférieur à 1, la série numérique de terme général zn converge et on sait que ∀z ∈ D(0,1), +X∞ n=0 zn … $$\sum_{k=p_n}^{p_{n+1}-1}a_kb_k\geq 1,$$ La première chose à faire est d'intégrer $f'/f$ pour obtenir des estimations de $f$. Mettant à la puissance $b$, on a Montrer que si la série est divergente. $$u_n\geq C v_n.$$ $$\left|\sum_{n=p}^q u_n\right|\leq \veps.$$ $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac1n+o\left(\frac1n\right).$$ Puisque $\alpha>1$, on a alors, pour $n\geq N$, $0\leq u_n^\alpha\leq u_n$. Montrer qu'on est dans les conditions d'application de la question précédente. Démontrer que les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ sont de même nature. Démontrer que la série numérique $\sum f(n)$ converge si et seulement si la suite $\left(\int_1^n f(t)dt\right)$ converge. On en déduit que Ce ne semble pas si facile! Or $\ln(p_n)=\sum_{k=0}^n \ln(1+u_k)$, et donc la convergence du produit infini $$S_N \leq \frac{a_p u_p}A+S_p.$$ On suppose qu'il existe $N\in\mathbb N$ tel que, $\sum_n v_n$ est convergente. Puisque $\alpha\in]0,1[$, on en déduit que $0\leq u_n\leq u_n^\alpha$. en gardant les mêmes notations pour $(b_n)$, $$\sum_{n=1}^{+\infty}(a_1\dots a_n)^{1/n}\leq e\sum_{n=1}^{+\infty}a_n.$$. Comme on a affaire à une série à termes positifs, Application 2 : étudier la convergence de $\sum_n u_n$ pour Soit $(u_n)$ une suite décroissante positive. Soit $(u_n)$ une suite décroissante de réels de limite nulle. Pour les deux séries, la règle de d'Alembert ne permet pas de conclure car on est dans son cas litigieux où le quotient $$\sum_{n=1}^N v_n=\sum_{n=1}^N \sum_{k=n}^{+\infty}u_k.$$ Soit $f$ une application croissante, continue et positive de $]0,1]$ dans $\mathbb R$. \sum_{j=1}^N \frac j{N+1}a_j&=&\sum_{j=1}^{N_0} \frac j{N+1}a_j+\sum_{N_0+1}^N\frac j{N+1}a_j\\ To learn more, view our, Suites, Séries, Intégrales Cours et exercices, EXERCICES SUR LES SERIES SERIES NUMERIQUES. Exercice 6 Convergence et valeur de . Maintenant, $\ln\left(1+\frac1{n+1}\right)\leq \frac{1}{n+1}$, d'où $\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1$. On conclut à nouveau à la convergence de $\sum_n u_n$ à l'aide de la première question. avec On suppose que la série $\sum_n u_n^2$ converge. Faites-le (en traitant d'abord les restes partiels)! Application : étudier la nature de $\sum_n \frac{\sin(\sqrt n)}n$. Alors on a dès que $N$ est assez grand (disons $\frac{N_0}{N+1}S\leq\veps$). \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} $$1-x+\dots+(-1)^n x^n=\frac{1-(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x}$$ Posons $u_n=\frac{1}{n(\ln n)^b}$ dont on rappelle qu'elle converge si et seulement si $b>1$. \begin{eqnarray*} \] Le point clé est l'encadrement suivant : Comparer $u_n$ et $v_n$. Ainsi, la série $\sum_n v_n$ est aussi divergente, Prendre $b\in]a,1[$ et procéder comme à la première question. La série de fonctions ]converge uniformément sur tout intervalle [ (voir 1.) On prend la même suite $(a_n)$, et on observe que $\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\to\frac 1l-1>0$, et donc pour $n$ assez grand, Maths Sup (Mathématiques supérieures) Chapitre 4 : Suites Numériques Cours de mathématiques supérieures sur les suites numériques Si $u_n>0$ et si la série $\sum u_n$ converge, alors $u_{n+1}/u_n$ a une limite strictement inférieure à 1. \end{eqnarray*}. on a $0\leq u_n\leq 1$. Alors, Soit $(u_n)$ une suite de réels tous strictement supérieurs à $-1$. Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 - 1962). Démontrer que pour tout $n\in\mathbb N$, on a Prenant les exemples de $a_n=1$ ou $a_n=1/(n+1)$, on observe que la série Puisque $l>1$, on peut trouver $\varepsilon>0$ tel que $l-\varepsilon>1$. $$\frac{a_{n+1}}{a_n}-\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\alpha-\beta}n+o\left(\frac 1n\right).$$ En déduire que la série n≥0 un converge et préciser sa somme. est divergente et est unique. On pose $v_n=\frac{u_n}{1+u_n}$. De même, la croissance de $(v_n)$ assure que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $v_n\leq \ell$. pour tout $n\geq n_0$, on a En mathématiques, la série géométrique est l'un des exemples de série numérique les plus simples. Donc, pour tout $n\in\mathbb N$, on $\ell\leq u_n$. Un premier résultat est : Théorème 2. \end{eqnarray*} Commencer en écrivant que Donc la suite $(|R_n|)$ est décroissante. \begin{eqnarray*} série numérique de terme général xn n!, n ∈ N, converge et on sait que ∀x ∈ R, X+∞ n=0 xn n! Les séries $\sum_n\ln(1+u_n)$ et $\sum_n u_n$ sont donc de même nature, et on conclut en utilisant Démontrer la convergence de l'intégrale en faisant un changement de variables.... On écrit que De plus, f n(0) = 0; 8n2N . (extrait de BibMath.net) La vie de Niels Abel, mathématicien norvé-gien est marquée par la pauvreté. Supposons à nouveau que $n=2p$ est pair. du logarithme (dans le sens direct) et de l'exponentielle (pour le sens réciproque), ceci est équivalent à dire est convergente. de la série $\sum_n u_n$ est équivalente à la convergence d'une intégrale impropre. \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} Dans le cas où $a<1$, on procède de même en choisissant cette fois $b\in]a,1[$. Pour cela, on remarque que vers la même limite $\ell$. C'est presque immédiat. et Utiliser $\sum_{n=j}^N \frac{1}{n(n+1)}=\frac1j-\frac1{N+1}$. N_1$, on $$Au_{n+1}\leq a_nu_n-a_{n+1}u_{n+1}.$$ Théorème 1.4 : convergence d’une série télescopique La série et dans ce cas, les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ ont bien la même nature. $$\frac{b_{n+1}}{b_n}=1-\frac{\alpha}{n}+o\left(\frac 1n\right).$$, Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs telle qu'il existe $\beta\in\mathbb R$ avec En effet, on a Démontrer que $\sum_n a_n$ diverge. \begin{eqnarray*} Montrer que, si $u_n\geq 0$, alors le produit $\prod(1+u_n)$ est convergent si et seulement si la série $\sum_n u_n$ Soit $(u_n)$ une suite positive et décroissante. On trouve alors que, pour $n$ La série ne peut pas converger car le critère de Cauchy n'est pas vérifié (ou plus simplement, si on note $S_n$ la $n$-ième somme partielle, si la série convergeait, alors $S_{2n}-S_{n}$ tendrait vers $0$, ce qui est impossible vue l'inégalité démontrée). Il faut encore justifier que l'on peut regrouper les termes comme on l'a fait. \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} ou bien $(u_n)$ ne converge pas vers 0. Or, la série de terme général $-\frac{u_n^2}2+o(u_n^2)$ est convergente, car son terme général est équivalent Faire un développement limité du logarithme. $$u_n\geq a_pu_p\times\frac 1{a_n}.$$ ceci assure la convergence de la série. avertissement : Il s'agit à chaque fois d'un sujet et d'une proposition de soluition tels que donnés en devoir ou TD à mes étudiants. On en déduit que Ceci prouve que la série est convergente. Soit (un)n∈N ∈ C N. Si la série … Puisque $\sum_n b_n$ diverge, on déduit de la question 1 la divergence de $\sum_n a_n$ (on échange bien sûr le rôle joué par $(a_n)$ et $(b_n)$). et $p$ est tel que $S_p\leq 2S_n$, $S_{p+1}>2S_n$. Montrer l'inégalité $\frac 1{(n! Alors $R_n$, somme d'une série alternée dont le premier terme est négatif, est négatif. Application 1 : retrouver la règle de d'Alembert. $$a_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-a_{n+1}\geq A.$$ à $-u_n^2/2$ qui garde un signe constant. On pose, pour $n\geq 1$, Soient et deux paramètres réels. On va conclure par la règle de Kummer en utilisant à chaque fois $a_n=n$. $$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac {n^b}{(n+1)^b}=\left(1+\frac1n\right)^{-b}=1-\frac{b}{n}+o\left(\frac1n\right).$$ Elle se note S = +X∞ k=0 uk. fonction $e^{-Mx}$. On pourra ensuite prouver que $R_n$ est équivalent à $f(n)$. On suppose que $\sum_n u_n$ converge. Définition de la convergence uniforme Soit (fn) une suite de fonctions numériques sur E .Soit A un sous-ensemble de E . \begin{eqnarray*} Si ce n'est pas le cas, alors il existe $\veps>0$ tel que, pour tout entier $N\in \mathbb N$, on peut trouver puisque la suite $(a_n)$ est décroissante. Justifier que, pour tout $n\in\mathbb N$, $v_n\leq \ell\leq u_n$. \emph{non nulle} notée alors $\prod_{n=0}^{+\infty}(1+u_n)$. )^{1/n}}\leq \frac{e}{n+1}$. Finalement, si $l=0$, alors $u_{n}/u_{n+1}$ tends vers $+\infty$ et donc, à partir d'un certain rang, &=&-u_{n+1}+2u_{n+2}-2u_{n+3}+2u_{n+4}-\cdots. exercice analyse numérique bibmath. On en conclut que $\sum_n u_n$ est convergente. Dans ce cas, il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n\geq N$, Penser à l'inégalité arithmético-géométrique, en remarquant que $$\left|\sum_{n=p}^q v_n\right|\leq \max\left(\left|\sum_{n=p}^q u_n\right|,\left|\sum_{n=p}^q w_n\right|\right)\leq \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} que la suite $(u_n)$ est décroissante. $$\int_1^X f(e^{-t})dt=\int_e^{e^X}\frac{1}{u}f\left(\frac 1u\right)du.$$ Il faut prouver que $\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right)$ est le terme général d'une série divergente. \[\frac 12\sum_{k=1}^p u_k\leq T_n\leq C\] La série de terme général un est dite divergente dans le cas contraire. $$\frac{u_{n+1}}2\leq |R_n|\leq \frac{u_n}2.$$ $$f(n)=\int_n^{n+1}f(t)dt-u_n.$$ Il suffit de démontrer que la suite des sommes partielles est majorée. En déduire que $\sum_n a_n$ converge. Or, pour tout $t\in [n,n+1]$, on a mais il est aussi facile d'écrire des bêtises! De même, $R_{n+1}$ est positif. de sorte que $\sum_{n}a_nb_n$ diverge. En notant $p_N$ l'entier $p$ construit pour le choix de $N$, la suite $(p_N)$ tend vers $+\infty$, et on a pour tout entier $N$, Puisque la série $\sum_n \frac 1n$ est divergente, il en est de même de $\sum_n u_n$. $$\frac{\ln n}{\ln n+\ln(1+1/n)}=\frac{\ln n}{\ln n+O(1/n)}=\frac{1}{1+O(1/n\ln n)}=1+O\left(\frac1{n\ln n}\right).$$ En déduire que la série $\sum_n u_n$ converge si et seulement si la série $\sum_n v_n$ converge. En conclusion, La série Xn n≥1 f′ converge simplement sur Ik =]2kπ,2(k +1)π[pour tout k ∈ Z. Suites géométriques 1) Définition Exemple : Considérons une suite numérique (u n) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. ce qui est en réalité le résultat souhaité. $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(\frac{\ln (n)}{\ln(n+1)}\right)^b=\left(1-\frac1n+o\left(\frac1n\right)\right)\left(\frac{\ln (n)}{\ln(n)+\ln(1+1/n)}\right)^b.$$ $$2^ku_{2^{k+1}}\leq (2^{k+1}-2^k)u_{2^{k+1}-1}\leq u_{2^k}+\dots+u_{2^{k+1}-1}\leq (2^{k+1}-2^k)u_{2^k}\leq 2^k u_{2^k}.$$. $$\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\left(1+\frac 1n\right)^{-\alpha}=1-\frac{\alpha}{n}+o\left(\frac 1n\right).$$. $$0\leq \sum_{j=p}^q a_j\leq \veps.$$ $$\frac{1}{1+x}=1-x+\dots+(-1)^n x^n+\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x}.$$. Mais Si $\sum_n |u_n|$ converge, alors $u_n\to 0$ et donc, pour $n$ assez grand, $0\leq u_n^2\leq |u_n|$. Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum_n |u_n|$ converge. Si $u_n>0$, et si la série $\sum u_n$ converge, alors la série de terme général $u_n^2$ converge. on a $$\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\geq \frac{\frac 1l-1}2>0.$$ Par le premier point, $\sum_n u_n$ converge. $$\sum_{n=1}^N v_n=\sum_{n=1}^N nu_n+N\sum_{n=N+1}^{+\infty}u_n=\sum_{n=1}^N n u_n+Nv_{N+1}.$$ &=\frac{2n+1}{2n+2}\\ Pour $n\geq 1$ et $x\in[0,1]$, justifier l'égalité On dit que le produit infini Ainsi, on a Montrer que $\prod_n(1+u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum_n \ln(1+u_n)$ converge. Centrale P’ 1996 Montrer que la série P … Si $u_n>0$ et si la série $\sum u_n$ converge, alors $(u_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang. $$f(t)-f(n)=\int_n^tf'(u)du$$ Démontrer que la série ce qui peut se réécrire en $$|u_n|\leq \int_n^{n+1} \int_n^t |f'(u)|du dt \leq \int_n^{n+1} \int_{n}^{n+1} |f'(u)|du dt\leq \int_n^{n+1} |f'(u)|du.$$ \frac{u_{n+1}}{u_n}&=&\left(\frac{n+2}{e}\right)^{n+1}\times\frac{1}{(n+1)! Soit $f:[1,+\infty[\to\mathbb C$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ telle que $f'$ est intégrable sur $[1,+\infty[$. Ainsi, par comparaison, la série de terme général $u_n$ diverge. Une suite numérique réelle est une fonction u qui à tout entier naturel n (ou tout entier supérieur à un certain entier naturel n_0), associe un réel : \bf u : n \mapsto u(n) La fonction qui à tout entier naturel n associe son double est une suite. Puisque la série $\sum_n u_n$ converge, il existe un entier $N_1$ tel que, pour tous $q\geq p \geq $$\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \frac{b_{n+1}}{b_n}.$$ Fixons maintenant $\veps>0$. convergence de $\sum_n v_n$. D'après la question précédente, on a La série converge en a, donc fa(a) = 1 = 4 π X∞ n=1 sin3(na) n, ce qui donne X∞ n=1 sin3(na) n = π 4. Puisque la série u n converge, la suite (u n) converge vers zéro. Supposons que $\frac{u_{n+1}}{u_n}\to l>1$. Calculer l'erreur relative pour cette approximation. et $\int_1^{+\infty}h(t)dt$. Prenons $N=\max(N_1,N_2)$ et $q\geq p\geq N$. Démontrer que pour tout $n\geq N$, $b_Na_n\leq a_N b_n$. pour tout $k\leq q$. La série numérique ( ) converge (c’est une série de Riemann avec ) Donc la série est dérivable en tout point de [ ](donc sur ) et (∑) ∑ ( ) Allez à : Exercice 6 Correction exercice 7. Nous allons aussi voir la relation qui existe entre les séries et … Soit $(a_n)$ une suite de nombres réels positifs tels que $\sum_n a_n$ diverge. La convergence de cette dernière intégrale se démontre en effectuant une intégration par parties... En déduire que $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n=\sum_{n=1}^{+\infty}nu_n$. Puisque d'après la question précédente, $Nv_{N+1}\to 0$, on en déduit, en faisant tendre $N$ C'est donc que $|R_{n+1}|-|R_n|\leq 0$. Si $\sum a_n$ diverge, alors $\sum b_n$ diverge. est bien équivalente à la convergence de la série $\sum_n \ln(1+u_n)$. Si $u_n$ ne tend pas vers 0, la série $\sum_n u_n$ diverge, la série $\sum_n \ln(1+u_n)$ aussi a) la série de terme général un converge si et seulement si q ≥ p+2, b) la série de terme général (−1)nun converge si et seulement si q ≥ p+1.
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