On a $0\leq a_n \leq \frac{a_N}{b_N} b_n$ et la série $\sum_n b_n$ converge. $$\int_1^X f(e^{-t})dt=\int_e^{e^X}\frac{1}{u}f\left(\frac 1u\right)du.$$
$$T_n\leq C.$$
Soit α 6=0 . Alors
Après avoir décomposé la fraction rationnelle 1 x(x+ 1), décider, en utilisant la dé nition de la convergence d'une série numérique, si la série X n>1 1 n(n+ 1) converge, et si oui, déterminer sa somme. Une bonne justification peut se faire à l'aide du critère de Cauchy. la série $\sum_n u_n$ converge. $$(a_1\dots a_n)^{1/n}\leq \frac{a_1+2a_2+\dots+na_n}{n(n! on a $0\leq u_n\leq 1$. Soit $(u_n)$ une suite décroissante positive. En déduire que la suite $(S_n)$ est convergente. On suppose qu'il existe $l\in\mathbb R$ tel que
On distingue deux cas : si $(u_n)$ tend vers 0, alors $u_n\sim_{+\infty}v_n$, et ces deux suites sont positives. On a alors : u:n\longmapsto2n. (car le terme général ne tend pas vers 0), donc le produit infini ne converge pas. $$\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\left(1+\frac 1n\right)^{-\alpha}=1-\frac{\alpha}{n}+o\left(\frac 1n\right).$$. Comme on a affaire à une série à termes positifs,
Démontrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a
Or, $\alpha-\beta<0$. $$\left|\sum_{n=p}^q w_n\right|\leq \veps.$$
Etudier la nature de la série … Alors $R_n$, somme d'une série alternée dont le premier terme est négatif, est négatif. La série ne peut pas converger car le critère de Cauchy n'est pas vérifié (ou plus simplement, si on note $S_n$ la $n$-ième somme partielle, si la série convergeait, alors $S_{2n}-S_{n}$ tendrait vers $0$, ce qui est impossible vue l'inégalité démontrée). $$\left|\sum_{n=1}^N \frac{a_1+\dots+n a_n}{n(n+1)}-S\right|\leq 3\veps.$$
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=1-\frac{\beta}n+o\left(\frac 1n\right).$$. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles positives. Si $u_n>0$, et si la série $\sum u_n$ converge, alors la série de terme général $u_n^2$ converge. On a, pour $n\geq 0$,
6 CHAPITRE 1. &\leq&\sum_{k=n}^{+\infty}k|u_k|. $$u_n\geq (l-\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}.$$
On suppose qu'il existe $p\in\mathbb N$ et $A>0$ tels que, pour tout $n\geq p$, on a
\[T_n=\sum_{k=1}^p (u_k-u_n)+\sum_{k=p+1}^n (u_k-u_n). Ceci prouve le résultat. Construire $b_k$ pour $k\in[p_n,p_{n+1}[$. c'est-à-dire $u_n\sim\frac\lambda n$. Comme la série de terme général 1 n2, n>1, converge (série de RIEMANN d’exposant a >1), la série de terme général u n converge. On en déduit que
a
\end{align*}
$$|u_n|\leq \int_n^{n+1} \int_n^t |f'(u)|du dt \leq \int_n^{n+1} \int_{n}^{n+1} |f'(u)|du dt\leq \int_n^{n+1} |f'(u)|du.$$
On suppose de plus que la suite $(u_n)$ vérifie les deux conditions suivantes :
You can download the paper by clicking the button above. On suppose que les deux séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ convergent. $$u_{n+1}-u_n=S_{2n+2}-S_{2n}=a_{2n+2}-a_{2n+1}\leq 0$$
de $\int_1^{+\infty}f(e^{-t})dt$ et celle de $\sum_n v_n$ à la convergence de $\int_1^{+\infty}\frac1tf\left(\frac 1t\right)dt.$
On fait un raisonnement similaire, mais en choisissant cette fois $\alpha\in ]\beta;1[$. On suppose que $\sum_n u_n$ diverge. Posons aussi $v_n=\frac 1{n^b}$. Ensuite, évaluer $\sum_{k=n}^b b_k$ où $n$ est arbitrairement grand
On suppose que la série à termes positifs de terme général u n est divergente et on pose S n = P n k=0 u k. Soit f: R+ → R+ une application continue décroissante. Mais, en effectuant le changement de variables $e^t=u$, de sorte de $e^t dt=u\implies dt=du/u$, on trouve
Justifier que
\emph{non nulle} notée alors $\prod_{n=0}^{+\infty}(1+u_n)$. Exo7 propose aux étudiants des cours de maths, des exercices avec corrections et des vidéos de mathématique avec niveau L1/Math Sup, L2/Math Spé, L3/Licence. Si $k>N$, il apparait $N$ fois. Montrer que la série de terme général (−1)n 3n+1 converge et que X∞ n=0 (−1)n 3n+1 = Z1 0 dx 1+x3. \begin{eqnarray*}
Puisque α > 1, on a alors, pour n ≥ N, α 0 ≤ u ≤ u n. Puisque l’on travaille avec des séries à termes positifs, ceci entraine la n P α convergence de u. n ≥ 1 n 2. Il suffit d'étudier la fonction. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb N$, on a
\newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} $R_n=\sum_{k\geq n}f(k)$. \[\sum_{k=p+1}^n (u_k-u_n)\geq 0.\]
mais il est aussi facile d'écrire des bêtises! \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} vers un réel. Mettant à la puissance $b$, on a
$$a_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-a_{n+1}\leq 0.$$
On suppose $l>1$. et d'autre part
)^2}\times\frac{4^n}{4^{n+1}}\\
alors que cette quantité devrait pouvoir être rendu arbitrairement petite lorsque $n$ est grand si la série convergeait. Ainsi, on a
a. Montrer que (1 −x).un peut se mettre sous la forme du terme général d’une série télescopique. L'idée est qu'une fonction vérifiant une telle propriété décroit très vite vers 0 en $+\infty$, plus vite que n'importe quelle
Il en est de même pour les deux séries. Exo Sup - Etudes supérieures, Cours et exercices corrigés, Site exosup pour les étudiants des facultés scientifiques Faire un développement du logarithme avec deux termes. Prouver que si la série $\sum_n u_n$ est convergente,
On note $v_n=\sum_{k=n}^{+\infty}u_k$. Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum_n |u_n|$ converge. $$\frac{\ln n}{\ln n+\ln(1+1/n)}=\frac{\ln n}{\ln n+O(1/n)}=\frac{1}{1+O(1/n\ln n)}=1+O\left(\frac1{n\ln n}\right).$$
A l'aide d'une comparaison à une intégrale, démontrer que pour tout $\alpha>1$, la série
Ceci entraîne que $(S_n)$ converge aussi vers $\ell$. pour tout réel $M$, on peut trouver un entier $N$ tel que $\sum_{k=p}^N a_k\geq M$. Fixons maintenant $\veps>0$. En notant $p_N$ l'entier $p$ construit pour le choix de $N$, la suite $(p_N)$ tend vers $+\infty$, et on a pour tout entier $N$,
On définit alors la suite
vers la même limite $\ell$. La démonstration est complètement similaire si $n$ est impair. Or,
$$\frac{u_n}{S_n^\alpha}=\frac{S_n-S_{n-1}}{S_n^{\alpha}}\leq \int_{S_{n-1}}^{S_n}\frac{dt}{t^\alpha}.$$
Ainsi, $f'$ est bien intégrable sur $[1,+\infty[$. Soit $\alpha\in ]1;\beta[$. $$\int_1^n \frac{\sin{\sqrt t}}tdt=2\int_1^{\sqrt n}\frac{\sin u}{u}du.$$
Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels. Remarquons que la preuve n'est pas complètement terminée. Exprimer $\sum_{n=1}^N v_n$ en fonction de $\sum_{n=1}^N nu_n$, et d'un autre terme. et que $\sum u_n$ est divergente. Intégrons entre $0$ et $1$ l'égalité obtenue précédemment. Se convaincre de sa nature sur des exemples. alors que cette quantité devrait tendre vers 0 si la série était convergente. Par le théorème de majoration des séries à termes positifs, $\sum_n u_n$ converge. Puisque $l>1$, on peut trouver $\varepsilon>0$ tel que $l-\varepsilon>1$. série numérique de terme général xn n!, n ∈ N, converge et on sait que ∀x ∈ R, X+∞ n=0 xn n! Distinguer les cas $u_n\to 0$ et $(u_n)$ ne tend pas vers 0. dès que $N$ est assez grand (disons $\frac{N_0}{N+1}S\leq\veps$). Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs telle que $\sum_n u_n$ diverge. On pose $v_n=\ln(nu_n)$ et $w_n=v_{n+1}-v_n$. Prouver qu'il existe une suite $(b_n)$ positive et qui converge vers 0
Le cas $a=1$ est bien un cas limite. &=&\sum_{j=1}^N a_j-\sum_{j=1}^N \frac{j}{N+1}a_j. $$\frac{a_{n+1}}{a_n}-\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\alpha-\beta}n+o\left(\frac 1n\right).$$
Une suite numérique réelle est une fonction u qui à tout entier naturel n (ou tout entier supérieur à un certain entier naturel n_0), associe un réel : \bf u : n \mapsto u(n) La fonction qui à tout entier naturel n associe son double est une suite. Nous allons aussi voir la relation qui existe entre les séries et … En déduire que la série $\sum_n u_n$ converge si et seulement si la série $\sum_n v_n$ converge. On pose, pour $n\geq 1$,
une suite strictement croissante d'entiers $(p_n)$ telle que $p_0=0$ et $\sum_{k=p_n}^{p_{n+1}-1}a_k\geq n$. a) la série de terme général un converge si et seulement si q ≥ p+2, b) la série de terme général (−1)nun converge si et seulement si q ≥ p+1. Démontrer que la série
En déduire que la série n≥0 un converge et préciser sa somme. Montrer que la série $\sum_n f(n)$ converge et donner un équivalent, lorsque $n\to+\infty$, de
Puisque la série $\sum_n u_n$ converge, il existe un entier $N_1$ tel que, pour tous $q\geq p \geq
Démontrer qu'il existe $\alpha>1$ et $N\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq N$, on ait,
Définition de la convergence uniforme Soit (fn) une suite de fonctions numériques sur E .Soit A un sous-ensemble de E . Par le changement de variables $u=\sqrt t$, on a
Montrer qu'on est dans les conditions d'application de la question précédente. \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} qui tend vers $0$. $$\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \frac{b_{n+1}}{b_n}.$$
Prendre $b\in]a,1[$ et procéder comme à la première question. On obtient deux résultats contradictoires, et donc la série n'est pas convergente. En utilisant l’égalité de Bessel-Parceval 16 π2 X∞ n=1 sin4(na) n2 = 1 π Z2a 0 1dx= 2a π, d’où X∞ n=1 sin4(na) n2 = aπ 8. en $+\infty$. D'après la formule donnant la somme d'une suite géométrique (de raison $-x$ ici, avec $-x\neq 1$) on a
$$\sum_{k=p_N}^{2p_N}u_k=S_{2p_N}-S_{p_N-1}\to 0.$$
On suppose qu'il existe $N\in\mathbb N$ tel que,
est la nature de la série de terme général $b_n$? a
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \frac{b_{n+1}}{b_n}.$$
De plus, f n(0) = 0; 8n2N . On considère la série numérique de terme général pour et : ( ()) 1. Academia.edu no longer supports Internet Explorer. Remplacer $u_{n+1}/u_n$ par son développement limité... La série de terme général $w_n$ converge. Si $(u_n)$ ne tend pas vers 0 (ce qui implique que $\sum_n u_n$ diverge), alors, il existe $\veps>0$ tel que,
Or, pour tout $t\in [n,n+1]$, on a
Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 - 1962). que la suite $(u_n)$ est décroissante. La série de terme général u nf(S n) converge. On suppose $\beta>1$. D'après l'hypothèse, chaque terme $u_{2k+1}-2u_{2k+2}+u_{2k+3}$ est positif. 18. $$S_N \leq \frac{a_p u_p}A+S_p.$$
Puisque la série $\sum_n 1$ diverge, il en est de même de $\sum_n u_n$. Indication Corrigé . $$\sum_{k=p_N}^{2p_N}u_k\geq \frac \veps 2.$$
Or, la série de terme général $-\frac{u_n^2}2+o(u_n^2)$ est convergente, car son terme général est équivalent
=ex, ou aussi, pour tout nombre complexe z de module strictement inférieur à 1, la série numérique de terme général zn converge et on sait que ∀z ∈ D(0,1), +X∞ n=0 zn … $$u_n=\int_n^{n+1}f(t)dt-f(n).$$
Dans cette question, on va prouver que $\ell=\ln 2$. D'après ce qui a été obtenu à la question précédente,
\end{eqnarray*}
By using our site, you agree to our collection of information through the use of cookies. On obtient
\DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} On en déduit que $(n v_n)$ tend vers 0. Démontrer que la série de terme général $u_n$ est convergente. En mathématiques, la série géométrique est l'un des exemples de série numérique les plus simples. $$f(n)=\int_n^{n+1}f(n)dt.$$. Le but de l'exercice est de déterminer un équivalent du reste de certaines séries alternées. Supposons que $\frac{u_{n+1}}{u_n}\to l>1$. Par continuité
C'est un simple développement limité. On a utilisé si et . Ceci prouve bien, par le critère de Cauchy, la
de la série $\sum_n u_n$ est équivalente à la convergence d'une intégrale impropre. Il existe un entier $N_0$ tel que, pour tout $q\geq p\geq N_0$, on ait
Pour $A\leq x\leq y$, on a en intégrant puis en passant à l'exponentielle,
Pour $n\geq 1$, on pose $T_n=\sum_{k=1}^n u_k-nu_n$. \sum_{j=1}^N \frac j{N+1}a_j&=&\sum_{j=1}^{N_0} \frac j{N+1}a_j+\sum_{N_0+1}^N\frac j{N+1}a_j\\
Posons $a_n=1$. Si $u_n$ ne tend pas vers 0, la série $\sum_n u_n$ diverge, la série $\sum_n \ln(1+u_n)$ aussi
\frac 12,$$
Il suffit alors d'appliquer le résultat de la première question. Montrer que $\prod_n(1+u_n)$ est convergent si et seulement si
On en conclut que $\sum_n u_n$ est convergente. La série est à termes positifs et ses sommes partielles sont majorées : elle est convergente. $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq \frac{v_{n+1}}{v_n}.$$
Le point clé est l'encadrement suivant :
$$I_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x}dx.$$
On a
Chapitre 1 Série numérique 1.1 Rappels sur les suites numériques Définition1.1.1.1 Unesuitenumérique(u n) n∈N (ousimplement(u n))estuneapplicationudeN dansC.L’imagedenestlen−ièmetermedelasuite. Supposons pour fixer les idées que $n$ est pair. Puisque $(I_n)$ tend vers 0, on en déduit que $(S_n)$ converge vers $\ln 2$. élémentaire de la divergence de la série harmonique). La preuve est assez simple,
$$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{\sigma(k)}{k^2}\geq \frac1{4n^2}\sum_{k=n+1}^{2n}\sigma(k).$$
En effet, on a, pour tout $n\geq p$,
Son père était pourtant un éminent homme politique norvégien, mais à la fin de sa vie il est tombé en disgrâce, et quand il meurt en 1820, c’est Abel qui doit supporter la charge de la famille. \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} Majorer $|nv_n|$ par l'inégalité triangulaire puis utiliser que $\sum_n n|u_n|$ converge. \]
On note $S_n=\sum_{k=1}^n u_k$. Il en est de même de $\sum_n u_n$. L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques 1 Enoncés Exercice 1 Soient ∑ an et bn deux séries à termes strictement positifs véri ant : 9n 2 N: 8n n ; an+1 an bn+1 bn Montrer que (1) si ∑ bn converge, alors an converge; (2) si ∑ an diverge, alors bn diverge. Pour $n\geq N$, posons $P_n:"b_Na_n\leq a_N b_n"$. On a toujours $u_{2n+1}>u_{2n}$, et pourtant la série converge. On a $(\sqrt{u_n}-\sqrt{v_n})^2\geq 0$ ce qui prouve que $0\leq \sqrt{u_nv_n}\leq \frac12\left(u_n+v_n\right)$. On procède par récurrence sur $n$. On écrit en effet
$$\int_0^1 \sum_{k=0}^n (-1)^k x^kdx=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}=S_n.$$
Concrètement, avec des quantificateurs, cela se traduit comme suit. Puisque $(a_n)$ est constituée de réels positifs, la divergence de la série assure que, pour tout entier $p\geq 0$,
Montrer que la suite $u_n=\left(\frac{n+1}e\right)^n\times\frac{1}{n! On note $\ell$ sa limite. \sum_{n=1}^N \frac{a_1+\dots+n a_n}{n(n+1)}&=&\sum_{j=1}^N \sum_{n=j}^N \frac{j a_j}{n(n+1)}\\
$$\sum_{k=p_n}^{p_{n+1}-1}a_kb_k\geq 1,$$
avertissement : Il s'agit à chaque fois d'un sujet et d'une proposition de soluition tels que donnés en devoir ou TD à mes étudiants. Il existe donc un entier n N ≥ 0 tel que, pour n ≥ N, on a 0 ≤ u n ≤ 1. Exercices corrigé dans Analyse NumériqueExercice 1 : une approximation de ( ). En déduire que $\sum_n u_n$ converge si $a>1$. Il suffit de démontrer que la suite des sommes partielles est majorée. Donc la suite $(|R_n|)$ est décroissante. $$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac {n^b}{(n+1)^b}=\left(1+\frac1n\right)^{-b}=1-\frac{b}{n}+o\left(\frac1n\right).$$
Soit $f:[1,+\infty[\to\mathbb C$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ telle que $f'$ est intégrable sur $[1,+\infty[$. on a $\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\leq 0$. Puisque $\sum_n b_n$ converge (puisque $\alpha>1$), on conclut en utilisant le résultat de la question 1. Puisque d'après la question précédente, $Nv_{N+1}\to 0$, on en déduit, en faisant tendre $N$
Faites-le (en traitant d'abord les restes partiels)! $\left(\int_1^n f(t)dt\right)$ est convergente. Autrement dit, la suite des sommes partielles $(S_N)_N$ est majorée. que si $N$ est assez grand, alors
$$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{\sigma(k)}{k^2}.$$
tel que, pour tout $x\geq A$, on a $\frac{f'(x)}{f(x)}\leq -M$. Autrement dit, on a $u_q\geq\veps/q$. Donc P f n converge simplement en 0 vers 0. 2 Etudier la convergence de l’intégrale =∫ + 2− 3+√ 0 Selon les valeurs de ∈ℝ Allez à : Correction exercice 6 Exercice 7. et $p$ est tel que $S_p\leq 2S_n$, $S_{p+1}>2S_n$. Commencer en écrivant que
Par minoration de séries positives, la série $\sum_n b_n$ diverge. Enter the email address you signed up with and we'll email you a reset link. Pour $n\geq 1$ et $x\in[0,1]$, justifier l'égalité
On suppose que la série $\sum_n u_n^2$ converge. On suppose pour toute la suite de l'exercice que $a_n=\frac{1}{n+1}$. Si la série numérique ∑ | | converge, alors la série entière converge normalement sur le disque fermé ¯, et la somme est donc définie continue sur ce disque. $$2^ku_{2^{k+1}}\leq (2^{k+1}-2^k)u_{2^{k+1}-1}\leq u_{2^k}+\dots+u_{2^{k+1}-1}\leq (2^{k+1}-2^k)u_{2^k}\leq 2^k u_{2^k}.$$. Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. Soit $f$ une application croissante, continue et positive de $]0,1]$ dans $\mathbb R$. \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} Fixons $p\in\mathbb N$ et démontrons que $S_p\leq 2C$. pour tout $n\geq n_0$, on a
d'où il vient
Si $u_n\geq 0$, on distingue deux cas. $$\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right)=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac1{2n}+O\left(\frac1{n\sqrt n}\right).$$
On transforme la $N$-ième somme partielle associée à la série de terme général $\frac{a_1+\dots+na_n}{n(n+1)}$ de la
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